Деление дробей. Правила. Примеры.
Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Деление дробей. Правила. Примеры.». Также Вы можете бесплатно проконсультироваться у юристов онлайн прямо на сайте.
В математике выделяют дроби правильные и неправильные. Правильные — те, у которых числитель меньше знаменателя. Например: 1/3, 2/5, 4/12. Но бывает и так, что числитель становится больше знаменателя. Если объяснять предметно, то взято больше частей пирога, чем было тех, на которые он поделен. Такое вполне возможно и в жизни, и в математике.
Что такое смешанные дроби?
У таких дробей можно отделить целую часть и оставшуюся после этого дробную. То есть будет видно, сколько взято целых пирогов и плюс определенное количество его частей. Нужно хорошо представить себе описанное, или даже проверить на практике, а не просто заучивать формулы. Тогда сокращение дробей будет выполняться ребенком осмысленно и безошибочно.
Для того чтобы трансформировать неправильную дробь в смешанное число, следует сперва числитель поделить на знаменатель. В результате почти всегда получим целое число и какой-то остаток. Целое число и нужно записать, как целую часть. А остаток — отправить в числитель дробной части. Неизменным остается только знаменатель.
Неправильными называют и дроби с одинаковым числом над и под дробной чертой: 6/6, 12/12 и т. д. Очевидно, что превратить их можно в 1. Наглядно это взято столько кусочков пирога, на сколько он и был поделен, т. е. целый пирог.
Примеры:
- 14/5 = (5*2+4) / 5 = 2 4/5
- 21/6 = (6*3+ 3) / 6 = 3 3/6
Задание:
Выделите целую часть из неправильных дробей:
- 15/4,
- 22/12,
- 30/7.
Можно провести противоположную процедуру — превратить смешанное число в неправильную дробь. Эта операция часто применяется в математических вычислениях, поэтому будет полезным узнать о ней. Для этого нужно сперва умножить целую часть и знаменатель. Затем получившееся число прибавить к числителю, а знаменатель оставить прежним.
Примеры:
- 3 1/8 = (3*8+1) / 8 = 25/8
- 7 4/9 = (7*9+4) / 9 = 67/9
Задание:
1. Преобразовать в смешанное число неправильную дробь:
- 27/4,
- 18/5,
- 45/7.
2. Выполнить обратную первой задачу — смешанное число превратить в неправильную дробь:
- 3 4/5;
- 12 7/11.
Освоив умножение, с делением также можно справиться легко. Правило деления дробей заключается в следующем: при делении одной дроби на другую нужно первую перемножить на обратную (перевернутую) вторую дробь. Или, иными словами, числитель первой умножить на знаменатель второй (это будет новый числитель), а знаменатель первой умножить на числитель второй (это будет новый знаменатель).
Пример:
4/7 : 2/5 = 4/7 * 5/2 = 20/14 = 10/7 = 1 3/7
Бывают ситуации, когда дробь нужно разделить на целое число. В этом случае следует представить дробь как неправильную. Числителем у нее будет это целое число, а знаменателем просто единица. Далее действовать нужно по уже знакомому правилу деления дробей из предыдущего случая.
Пример:
5/9 : 2 = 5/9 : 2/1 = (5*1) / (9*2) = 5/18
Задание:
Выполните деление дробей:
- 6/11 : 3;
- 7/15 : 2;
- 9/12 : 4.
Обыкновенная или простая дробь — это число вида a/b , где a — числитель дроби, b — знаменатель дроби. Суть дроби можно объяснить на примере пирога – например, дробь ¼ означает один кусок пирога из 4-ех.
Правильная — дробь, у которой числитель меньше знаменателя (например, 1/5, 2/9).
Неправильная — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, 7/2, 5/5).
Смешанная — дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби. Она представляет собой сумму этого числа и дроби. Любую неправильную дробь можно перевести в смешанную путем выделения целой части (например, 9/4 = 2 ¼).
Десятичная — дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д. (например, 7/10 или 0,7; 9/100 или 0,09). Десятичная дробь записывается в виде целой и дробной части, которые отделяются запятой.
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Например, 1/9 + 4/9 = 5/9.
Чтобы сложить две простые дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК) и сложить числители полученных дробей (знаменатель будет равен НОК). Если получилась неправильная дробь, то ее нужно преобразовать в смешанную и при необходимости сократить. Например, 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12 = 5/6.
Чтобы сложить две смешанные дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК), отдельно сложить целые части и числители полученных дробей (знаменатель будет равен НОК). Если получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть и прибавить ее к полученной целой части, при необходимости сократить.
Алгоритм действий при вычитании двух дробей:
- Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
- Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
- Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
- Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
- Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.
Действия с обыкновенными дробями 6 класс
С простыми дробями можно производить следующие действия:
- Расширять дробь. Если умножить верхнюю и нижнюю часть дроби на какое-либо одинаковое число (только не на ноль), то значение дроби не поменяется (3/5 = 6/10 (просто умножили на 2).
- Сокращение дробей — схоже расширению, но тут делят на какое-либо число.
- Сравнивать. Если у двух дробей числители одинаковыми, то большей окажется дробь с меньшим знаменателем. Если одинаковые знаменатели, то больше будет дробь с наибольшим числителем.
- Выполнять сложение и вычитание. При одинаковых знаменателях это сделать просто (суммируем верхние части, а нижняя не меняется). При разных придется найти общий знаменатель и дополнительные множители.
- Умножить и разделить дроби.
Примеры действий с дробями рассмотрим ниже.
Вычитание и имеющих целые части
Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:
- Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, — числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
- Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
- Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
- При получении неправильной дроби выделить целую часть.
Умножение дроби на натуральное число
Чтобы умножить дробь на натуральное число или наоборот, можно умножить дробную часть на это натуральное число, оставив знаменатель неизменным.
Чтобы разделить одну дробь на другую дробь, преобразуйте вторую дробь, а затем умножьте первую дробь на вторую дробь. Другими словами, числитель первой дроби умножается на знаменатель второй дроби (это произведение является числителем результата) знаменатель первой дроби умножается на числитель второй дроби (это произведение является результатом результата): знаменатель первой дроби является знаменателем второй дроби.
Чтобы проверить, правильно ли было выполнено деление, вы можете умножить полученный коэффициент на делитель и посмотреть, правильно ли вы получили делимое. Разделение было проведено правильно.
Остается только уменьшить полученную фракцию.
Правила деления обыкновенных дробей на типы:.
Иногда вы можете встретить записи в такой форме.
Поскольку вертикаль обозначает деление, эти записи могут быть переписаны в более удобном формате.
В записях, где вертикаль используется много раз, поставьте символ = перед последней вертикалью деления.
Сегодня мы изучаем только умножение целых чисел на дроби. В наши дни эта проблема имеет большое значение для всех — от биологов до математиков. Но сначала давайте поближе познакомимся с этим «чудо-зверем» — дробями.
Умножение простой дроби на число
При умножении простой дроби на натуральное число, ее числитель следует умножить на этот множитель, а знаменатель оставить без изменения.
| 3 8 | × | 4 | = | 3 × 4 8 | = | 12 8 | = | 1 | 4 8 | = | 1 | 1 2 |
Умножение смешанной дроби на смешанную дробь
При выполнении операции умножения смешанных чисел, их следует записать в виде неправильных дробей, после чего перемножить их по соответствующим правилам.
| 2 | 1 3 | × | 4 | 3 5 | = | 7 3 | × | 23 5 | = | 7 × 23 3 × 5 | = | 161 15 | = | 10 | 11 15 |
Умножение и деление обыкновенных дробей
Если в дробях присутствует целая часть, их надо перевести в неправильные — и только затем умножать по схемам, изложенным выше.
Если в числителе дроби, в знаменателе или перед ней стоит минус, его можно вынести за пределы умножения или вообще убрать по следующим правилам:
- Плюс на минус дает минус;
- Минус на минус дает плюс.
До сих пор эти правила встречались только при сложении и вычитании отрицательных дробей, когда требовалось избавиться от целой части. Для произведения их можно обобщить, чтобы «сжигать» сразу несколько минусов:
- Вычеркиваем минусы парами до тех пор, пока они полностью не исчезнут. В крайнем случае, один минус может выжить — тот, которому не нашлось пары;
- Если минусов не осталось, операция выполнена — можно приступать к умножению. Если же последний минус не зачеркнут, поскольку ему не нашлось пары, выносим его за пределы умножения. Получится отрицательная дробь.
Задача. Найдите значение выражения:
Для того, чтобы перевести смешанную дробь в обыкновенную, необходимо к числителю дроби прибавить произведение целой части и знаменателя: i nd = i · d + nd
Например,
5 34 = 5 · 4 + 34 = 234
Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в смешанную, необходимо:
- Поделить числитель дроби на её знаменатель
- Результат от деления будет являться целой частью
- Остаток отделения будет являться числителем